数学学习或研究中你见过哪些有意思的反例? | 目的地Destination

数学学习或研究中你见过哪些有意思的反例?

我来给 @sammy711 的答案做一个简洁的证明。

原答案给出的式子是这样的:

/begin{align} /int_0^/infty /frac{/sin(x)}{x} /,/text{d}x &= /frac{/pi}{2} // /int_0^/infty /frac{/sin(x)}{x} /cdot /frac{/sin(x/3)}{x/3} /,/text{d}x &= /frac{/pi}{2} // /cdots &= /frac{/pi}{2} // /int_0^/infty /frac{/sin(x)}{x} /cdot /frac{/sin(x/3)}{x/3} /cdot /cdots /cdot /frac{/sin(x/13)}{x/13}/,/text{d}x &= /frac{/pi}{2} // /int_0^/infty /frac{/sin(x)}{x} /cdot /frac{/sin(x/3)}{x/3} /cdot /cdots /cdot /frac{/sin(x/13)}{x/13} /cdot /frac{/sin(x/15)}{x/15} /,/text{d}x &/lt /frac{/pi}{2} // /end{align}

为了证明简洁,我把被积函数中所有的 x 换成 /pi x,这相当于把函数在水平方向上缩小了到原来的 1//pi,故积分值也缩小到原来的 1//pi。再把积分下限换成 -/infty,由于被积函数均为偶函数,所以积分值翻倍。记 /frac{/sin(/pi x)}{/pi x} = /text{sinc}(x) ,则这一系列式子就变成了:

/begin{align} /int_{-/infty}^{+/infty} /text{sinc}(x) /,/text{d}x &= 1 // /int_{-/infty}^{+/infty} /text{sinc}(x) /cdot /text{sinc}(x/3) /,/text{d}x &= 1 // /cdots &= 1 // /int_{-/infty}^{+/infty} /text{sinc}(x) /cdot /text{sinc}(x/3) /cdot /cdots /cdot /text{sinc}(x/13) /,/text{d}x &= 1 // /int_{-/infty}^{+/infty} /text{sinc}(x) /cdot /text{sinc}(x/3) /cdot /cdots /cdot /text{sinc}(x/13) /cdot /text{sinc}(x/15) /,/text{d}x &/lt 1 // /end{align}

看到满眼的 /text{sinc} 函数,自然想到了大杀器 —— 傅里叶变换

采用如下的傅里叶变换定义: F(/xi) = /int_{-/infty}^{+/infty} f(x) /, /text{e}^{-/text{i} 2 /pi /xi x} /,/text{d}x

F(0) = /int_{-/infty}^{+/infty} f(x) /,/text{d}x

所以式子的左边就是 /text{sinc} 函数连乘后,其傅里叶变换在 0 处的值。

而连乘的傅里叶变换,等于傅里叶变换的卷积。

/text{sinc}(x/a) 的傅里叶变换为 a /cdot /text{rect}(a/xi) ,这是一个关于纵轴对称、宽度为 1/a、高度为 a 的矩形脉冲。

最后一式的左边,就是要计算下面这 8 个矩形脉冲的卷积在 0 处的值:

我们把最矮、最胖的那个矩形脉冲 /text{rect}(/xi) 先放在一边,先算剩下那 7 个矩形脉冲的卷积。

这些脉冲的面积都是 1;它们及它们卷积的中间结果,宽度都是有限的。

卷积有如下的两个性质(证明留给读者):

  • 两个宽度有限信号的卷积,结果宽度也有限,且等于两个信号的宽度之和;
  • 两个信号的卷积结果的面积,等于两个信号各自面积之积。

7 个脉冲的卷积结果(称之为 G(/xi) 吧)大概长这样:

虽然从图上看起来不明显,但 G(/xi) 的宽度 /frac{1}{3} + /frac{1}{5} + /frac{1}{7} + /frac{1}{9} + /frac{1}{11} + /frac{1}{13} + /frac{1}{15} > 1 ,而面积等于 1。

最后,要把 G(/xi)/text{rect}(/xi) 再卷积,并取 0 点处的值。这相当于求 G(/xi) 在区间 [-1/2, 1/2] 上的积分。

很不幸,G(/xi) 有一小部分伸到了区间 [-1/2, 1/2] 之外,所以积分结果就略小于 1 了。

具体小了多少,计算起来会很麻烦,就略了。

如果排除掉 15 /cdot /text{rect}(15/xi),那么 G(/xi) 的宽度 /frac{1}{3} + /frac{1}{5} + /frac{1}{7} + /frac{1}{9} + /frac{1}{11} + /frac{1}{13} 就会小于 1,完全处于区间 [-1/2, 1/2] 之内,最终结果就等于 1 了。

来源:知乎 www.zhihu.com
作者:王赟 Maigo

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